刷题笔记0x07：不同路径

不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。 问总共有多少条不同的路径？

思路

首先想到的是，既然这个机器人只能向下或向右走，那么，设机器人当前所在位置坐标为(x, y)，可以得出结论，机器人只能从(x-1, y)或(x, y-1)来。

现在，让我们设函数f(x, y)为机器人到达坐标点(x, y)的路径数。那么，由之前的结论可得出公式，即f(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1)。

另外，对于所有合法的终点（也就是除了起点以外），当y = 0或x = 0时，路径数都为1。

代码

在具体实现时要考虑一下，如果用二维数组来记录从起点到终点的路径数，C语言数组的索引是不能为负数的。例如有一个3 x 2的格子，可以如下表操作：

将3 x 2的格子改造成4 x 3，并且外圈置0，同时把坐标为(1, 2)的格子与(2, 1)的格子置为1，因为从起点到这两点路径数都为1，这样后面所有坐标都有了计算的基点。对于这一点如果不能理解，可以在纸上画图，并把后面坐标的值按照公式f(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1)填一下。

这样，我们相当于把原本的格子向右下移动了，以此避免索引出现负数。

首要工作就是要声明数组并赋值：

int dp[m+1][n+1];
// 全部置0
memset(dp, 0, sizeof(dp));
// 先把这两个坐标设为1
dp[1][2] = 1;
dp[2][1] = 1;

接着就可以迭代计算了，既然我们把格子向右下移动了，那么要从索引1开始。

 for (int x = 1; x <= m; x++)
{
    for (int y = 1; y <= n; y++)
    {
        // 前面我们已经设好这两个坐标的值为1了，不能把它们又改掉了
        if ((x == 1 && y == 2) || (x == 2 && y == 1))
        {
            continue;
        }
        dp[x][y] = dp[x-1][y] + dp[x][y-1];
    }
}

完整代码如下，之所以要先有个if判断，是因为这个题目输入1，1时要返回1：

int uniquePaths(int m, int n)
{
    if (m == 1 || n == 1)
    {
        return 1;
    }
    int dp[m+1][n+1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[1][2] = 1;
    dp[2][1] = 1;
    for (int x = 1; x <= m; x++)
    {
        for (int y = 1; y <= n; y++)
        {
            if ((x == 1 && y == 2) || (x == 2 && y == 1))
            {
                continue;
            }
            dp[x][y] = dp[x-1][y] + dp[x][y-1];
        }
    }
    return dp[m][n];

}

排列组合

这一题其实还可以用高中数学方法解决，因为这其实就是个排列组合问题。这个留给读者自己去想啦。